Problèmes variés

Voici une sélection de problèmes corrigés, souvent issus d’anciens manuels de Terminale, mais pas seulement. Le niveau privilégié est celui de Première / Terminale, avec de fréquentes incursions en L1, voire L2, comme le permettent de façon quasi systématique les sujets anciens de terminale.
Je défends la thèse qu’une préparation efficace à l’écrit du CAPES est d’une part de s’attaquer à des problèmes consistants, portant sur le programme des lycées, tels que ceux présents ici, et d’autre part de mener en parallèle une préparation ciblée sur la résolution d’exercices tirés de manuels.
Depuis 2018 inclus, chaque année plus de 50 % des thèmes abordés dans les sujets d’écrit sont au moins évoqués, et parfois entièrement traités, par l’un ou l’autre des problèmes figurant sur cette page.
Ne pas tenir compte dans ces documents des labels « Ecrit 1 » ou « Ecrit 2 » qui n’ont plus aucune raison d’être. Il s’agit dans tous les cas de documents pour l’actuel « Ecrit 1 ».

Algèbre

Applications linéaires du plan ou de l’espace dont on connaît le noyau et l’image

Baccalauréat Orléans 1976. Etude des endomorphismes du plan et de l’espace dont le noyau et l’image sont donnés.
Problème complet avec corrigé.

Autour d’un exercice des Olympiades Internationales 2021

L’expérience de Clara. Où l’on trouve toujours deux nombres dont la somme est un carré parfait. Une démarche de résolution et son corrigé.

NB. A propos d’Olympiades, je signale les Olympiades Académiques de Première, qui peuvent être source de sujets d’entraînement pour le CAPES. Leur niveau est certes supérieur à celui des sujets récents du CAPES (Bien qu’il ne s’agisse pas d’une « compétence » officielle, ces sujets nécessitent en effet de l’inventivité). De nombreux corrigés dont je suis l’auteur sont publiés sur le site freemaths.

Voici, pour l’exemple, un sujet d’Olympiades, le sujet académique Créteil 2023 avec son corrigé.

Lois de groupe dans les anciens sujets de bac Terminale C

Les structures algébriques étaient, à cette époque, au programme de la classe de terminale série C. Il s’ensuivait de très intéressants problèmes posés régulièrement au bac. Aujourd’hui, ces mêmes problèmes fourniraient d’authentiques sujets de CAPES que d’aucuns considèreraient comme « coriaces ».

  • la loi étoile sur l’intervalle ]-1, +1[ est une loi de groupe qui a fait l’objet de plusieurs problèmes de baccalauréat série C dans les années 1970/1980.
    En voici une synthèse, un sujet inspiré de Besançon septembre 1974 et Groupe1 1983 (entre autres) suivi de son corrigé. Structure de groupe, isomorphismes de groupes, une équation fonctionnelle.
  • Un sujet voisin : Limoges 1974, une autre équation fonctionnelle en lien avec la même loi étoile.
  • Un sujet analogue : Côte d’Ivoire 1978, une autre loi, définie celle-ci sur l’intervalle ]-1, plus l’infini[. On y retrouve à peu près les mêmes thèmes que dans le sujet de la loi étoile. Sujet très instructif lui aussi.

Autour de la racine cubique de 2

Des rationnels, la racine cubique de 2 et ce qu’elle engendre : Ce problème est inspiré d’un énoncé du Gourion /Novelli terminale C 1979.

Géométrie

La cissoïde de Dioclès

L’étude de la « cissoïde de Dioclès » se prête bien à plusieurs angles d’attaque. Dans le problème que voici, nous en verrons trois ; par son équation cartésienne et par le fait qu’elle est, de deux façons, un lieu géométrique déjà connu dans l’Antiquité.
En d’autres termes ce problème est à cheval entre la géométrie (lieu géométrique) et l’analyse (courbes paramétrées).

La versiera d’Agnesi

En hommage à Maria Gaetana AGNESI, l’étude de la versiera d’Agnesi est du même tonneau que celle de la cissoïde. Elle est lieu géométrique, et nous en verrons des équations paramétriques, une équation cartésienne et deux propriétés « amusantes » (?)
En d’autres termes ce problème est lui aussi à cheval entre la géométrie et l’analyse.

L’art de partager un angle en trois

Le problème de la trisection de l’angle est un problème qui, sauf dans des cas particuliers, n’a pas de solution « à la règle et au compas ». Dans le document que voici, nous verrons deux méthodes approchées : une première méthode est basée sur l’usage de la « trisectrice de Mac-Laurin », une courbe cissoïdale comme sa collègue de Dioclès et une deuxième méthode qui était employée paraît-il par les compagnons du Moyen-âge. Ce problème (en ce qui concerne du moins la première méthode) est lui aussi à cheval entre la géométrie et l’analyse.

Des applications affines remarquables

Pondichéry bac C 1982. Sujet certes peu festif, varié et formateur. Il passe en revue nombre de notions de base sur espaces affines et applications affines.

Point de Fermat/Torricelli par les complexes

Baccalauréat série C Rennes septembre 1976 : l’outil des nombres complexes.
Le sujet original, ccompagné d’un corrigé.

Vecten, Van Aubel et Thébault

  • Etude conjointe Vecten / Van Aubel. Un problème proposant l’étude, à l’aide de l’outil des nombres complexes, de ces deux configurations, classiques des manuels de première et terminale scientifique.
    Un problème annexe (problème de lieu) en lien avec la configuration de Vecten.
  • Le deuxième théorème de Thébault. Un carré et des triangles équilatéraux. Un problème qui eut son heure de gloire à une époque où « plusieurs outils pour un même problème » était un thème d’Oral du CAPES (pendant la préhistoire des « compétences » en quelque sorte …).

Migration barycentrique

La migration barycentrique ou « morphing » permet de transformer un objet géométrique en un autre. Ce document propose une étude de quelques exemples simples de migration, en application de la notion de barycentre.

Documents relatifs au thème « courbes de Bézier »

CAPES 1992

La deuxième épreuve de cette session a récemment attiré mon attention car son sujet recoupe certains thèmes abordés en 2017, relatifs au réseau ZxZ. J’en ai tiré trois problèmes indépendants, chacun bien entendu plus court que le sujet original, tous susceptibles de servir de problèmes d’entraînement pour les CAPES.

  • Problème 1. Polygones réguliers dont les sommets sont des points entiers.
  • Problème 2. Disques contenant n points entiers, cercles passant par n points entiers.
  • Problème 3. Une solution au problème de la quadrature des cercles.

Hyperbole de Kiepert d’un triangle scalène

Lorsqu’un triangle ABC n’est pas isocèle, il existe une hyperbole équilatère qui passe à la fois par ses sommets et par son centre de gravité. Cette hyperbole constitue le support d’un lieu géométrique de points. On se propose d’étudier deux exemples.

  • Dans ce premier exemple, le triangle ABC est choisi de manière que son hyperbole de Kiepert soit une hyperbole simple. L’étude de cet exemple est de ce fait un peu plus approfondie.
  • Dans ce deuxième exemple, l’hyperbole obtenue n’a ni ses asymptotes, ni ses axes parallèles aux axes de coordonnées, une « réduction » quelque peu pénible est nécessaire. (L’usage d’un logiciel de calcul formel semble indispensable). Cet exemple est évidemment hors programme CAPES.

Probabilités

Who pays for the beer ?

Un exercice extrait de la session 2012 de l’excellent concours canadien CIPAS, hélas défunt. Le premier qui tire un as paye la tournée. Le sujet et un corrigé.

À prendre ou à laisser

Un ancien jeu télévisé (« A prendre ou à laisser ») où l’on ouvrait des boîtes. Mais il fallait parfois attendre longtemps pour les ouvrir. On y trouve une loi qui est au programme du CAPES. Une étude mathématique de ce jeu avec son corrigé.

Paris baccalauréat série C 1975

Un intéressant problème à thème : probabilité de ruine d’un joueur. Où l’on mesure que la série S dite actuellement « scientifique » n’a strictement rien à voir avec l’ancienne filière bac C. Le sujet et un corrigé.

Poolage

Pamela part en week-end.
Mais elle doit avant cela terminer son travail … Terminera-t-elle à temps ?
Une application des lois binomiales. Le sujet et un corrigé.

Le jeu des quatre dames

En application de la notion de probabilité conditionnelle : Système complet d’évènements et formule des probabilités totales.
Arrivera-t-on à retourner les quatre dames ? Le jeu probablement dit et une généralisation : Le sujet et un corrigé.

Modèle d’Ehrenfest

Trois boules dans les urnes puis quatre puis cinq … Problème de probabilités amenant à des suites numériques.
Le cas M=3 est de difficulté moyenne, les cas M=4 puis M=5 donnent lieu à des calculs plus éthérés. On y trouve des racines de 10 puis des racines de 19 là où on n’en attendait pas.
L’énoncé que voici est volontairement assez ouvert, les résultats à obtenir sont à votre charge.

Voir ici un corrigé de ce problème.

Analyse

Une modélisation célèbre

Le modèle de Verhulst. Un exemple de modélisation continue et les problèmes qui surgissent en cas de modélisation discrète.
Un problème formateur pour les candidat(e)s au CAPES. Le modèle de Verhulst, ou modèle logistique est une alternative au modèle exponentiel, un candidat au CAPES se doit de le connaître. Ce problème peut servir pour alimenter un sujet de l’oral 1 (« modélisation »).

Calcul d’une intégrale de Gauss

Baccalauréat terminale C Liban 1978, le problème. Ce sujet est connu pour être, avec Aix-Marseille 1981, l’un des plus consistants de l’histoire de la filière C. Le problème développe une démarche aboutissant au calcul d’une intégrale de Gauss.
On trouvera par ailleurs un des deux exercices accompagnant ce problème du même sujet.

« Le beau Rolle »

Majoration de l’erreur dans les méthodes des trapèzes et des tangentes (calcul approché d’intégrales, en lien éventuel avec le sujet n°41 de l’oral 1). Un sujet d’étude et son corrigé. Ce sujet a été composé à partir du manuel Audirac Terminale C 1983. Il étudie des majorations classiques de l’écart entre une fonction et certains de ses ajustements affines puis une application en intégration.

Un encadrement de la factorielle de n

Par la méthode de Daniel PERRIN. Il y est aussi question des méthodes des trapèzes et des tangentes. Voici ces méthodes à l’œuvre. Un sujet d’étude et son corrigé.

Méthode d’interpolation de Hermite

Interpolation d’une fonction sur un segment par un polynôme bi-osculateur.
En feuilletant le Magnard Terminale C édition 1983, je suis tombé par hasard sur le sujet de Bac Nancy-Metz 1982. Globalement, sa difficulté est toujours supérieure ou égale à celle de l’épreuve du CAPES.

Le problème de Bâle

Baccalauréat terminale C Aix-Marseille 1981, le problème. Le sujet Aix-Marseille terminale C juin 1981 est connu pour être, avec Liban 1978, l’un des plus consistants de l’histoire de la filière C. Le problème présente une méthode de calcul de la somme des inverses des carrés d’entiers.

Une série convergente

Baccalauréat terminale C Centres étrangers 1979. Un exercice de ce sujet, avec en prime un prolongement. Série convergente associée à une suite croissante d’entiers > 1. Cas où la limite est rationnelle, cas où elle ne l’est pas.

Diverses moyennes

  • Baccalauréat terminale C Nancy-Metz 1979. Comparaison des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de n réels strictement positifs. Sujet et corrigé. En prime, un ajout présentant un encadrement de la factorielle de n, dont il est accessoirement question dans la « deuxième application » du problème.
  • Moyennes arithmético-géométriques, obtenues comme limites de suites (sujet inspiré par le CAPES 1995).
    Sujet et corrigé.

Modélisation : Modèle de Lotka-Volterra, une histoire de renards et de campagnols

Systèmes de deux suites récurrentes. Autour de l’exercice 4 du sujet de Bac Terminale S Amérique du Nord 2018 :

Cette étude peut servir pour le sujet de l’oral 1 « exemples de modélisation ».

Arithmétique

Variations sur les factorielles

La notion de factorielle d’un entier se prête à de nombreux thèmes d’étude. Dans ce document : « Musique factorielle » nous allons les étudier d’un point de vue arithmétique (décomposition en produit de facteurs premiers, nombre de diviseurs et quelques autres questions).
Ailleurs sur cette même page, vous trouverez une étude des factorielles d’un point de vue « analyse » (un encadrement). Il y a encore une troisième étude qui figure dans la partie additionnelle « Et d’autres encore ». Autrement dit, en cherchant un peu, pas mal de munitions sur ce sujet.

Deux applications des congruences

Voici deux problèmes avec corrigé présentant deux applications des congruences :
D’une part l’exponentiation modulaire, outil que l’on retrouve paraît-il en cryptographie (thème non abordé dans ce document). On y trouvera un théorème d’Euler.
D’autre part le théorème des restes chinois, abordé au travers d’un sujet de baccalauréat qui est un exemple-type de ce que j’appelle un « sujet IKEA ».

Les nombres harmoniques

Les nombres harmoniques sont les sommes partielles de la série harmonique. Ce sujet est inspiré d’un exercice du Terracher 1999. De l’analyse très classique dans les deux premières parties puis une troisième partie très arithmétique.

Une infinité de nombres premiers

Aix-Marseille terminale C 1981, un exercice. Une infinité de nombres premiers de la forme 4n-1.

Théorème de Lamé

Le théorème de Lamé majore le nombre de divisions nécessaires dans l’algorithme d’Euclide pour obtenir le PGCD. Une démonstration de ce théorème est proposée par ce problème, en application de l’étude d’une suite de Finobacci.
Voir ici le corrigé.

Suites d’Eden

Les suites d’Eden constituent une autre application des suites de Fibonacci : il s’agit de dénombrer des suites d’entiers extraites de {1,2,…,n} satisfaisant certaines conditions.
Voir ici le corrigé.

Mathématiques générales (tout venant …)

Réordonnement

Inégalités de réordonnement et une inégalité de Tchebychev.
Ce problème corrigé présente diverses manières de tricoter deux listes de réels strictement positifs.

Des histoires de racines

Des sous-ensembles de R : Extensions de Q et de Z contenant la racine carrée d’un nombre premier.

Des rationnels, la racine cubique de 2 et ce qu’elle engendre, des structures algébriques à la mode d’antan :
Ce problème est inspiré d’un énoncé du Gourion /Novelli terminale C 1979, manuel de référence d’excellence de l’époque.

Numérotation du réseau Z2

Le réseau Z2 est dénombrable et on va le numéroter.
Ce problème est inspiré d’un énoncé à deux points rouges Magnard Audirac terminale C 1983.
La numérotation de Z2 se prête assez bien à une programmation. On tiendra compte du fait qu’en 1983, tout se faisait à la main.

Le théorème de Pick

En lien avec le « réseau Z2 » étudié ci-dessus, voici le théorème de Pick. Ce théorème permet, dans certaines circonstances, de calculer « facilement » l’aire d’un polygone dont les sommets sont des points à coordonnées entières.

Fractions continues

Tout nombre réel irrationnel est infiniment développable en « fraction continue ».
Ce problème présente cette notion.
La relative originalité du problème est que l’on part d’une suite d’entiers strictement positifs pour construire une suite de fractions continues qui va converger vers un certain irrationnel. On étudie ensuite une réciproque, une application (théorème de meilleure approximation rationnelle d’un irrationnel) et deux exemples anecdotiques.

La « fonction de Möbius »

Baccalauréat Tel Aviv 1976. Etude d’une structure d’anneau sur l’ensemble N*.
Cet étonnant sujet porte sur la notion de produit de convolution de Dirichlet. On y retrouve la fonction de Möbius et autres friandises.
Ce document propose le texte original, deux questions complémentaires et un corrigé.

Théorème de Beatty et jeu de Wytthof

Suites de Beatty et applications. Un problème et son corrigé. Une suite de Beatty est une suite de parties entières de multiples d’un nombre rationnel ou, plus intéressant, irrationnel. Ces suites trouvent leur application dans divers domaines. On en présente un exemple. Le sujet date de 2015 et je ne l’ai pas révisé, il est proposé « en l’état ».

Matrices stochastiques et application probabiliste

Problème d’entraînement : La partie 1 de ce problème (donné en 2009 à titre de concours blanc) porte sur la notion de « matrice stochastique » (algèbre). La partie 2 est une application à une situation probabiliste (un exemple simple de processus de Markov). La partie 3 traite la même situation avec l’outil des suites.
Voir ici le corrigé.

Et en plus …

NB. Ces deux pages sont hors-sujet pour les lecteurs qui préparent le CAPES.