Le Concours Général de Mathématiques des Lycées est destiné aux élèves des classes de Terminale voie scientifique. Les sujets proposés, d’un niveau incomparablement supérieur au niveau d’un sujet de CAPES, suscitent toujours curiosité et intérêt. Que leurs auteurs en soient ici remerciés. Le public visé par cette page est d’une part les quelques 3000 lycéens qui, bon an mal an, se présentent à ce concours et d’autre part les étudiants des classes Prépa qui peuvent y trouver l’ambiance de certaines épreuves de « Concours d’Entrée ».
Concours général 2024
Trois problèmes comme habituellement. Ici une proposition de correction des problèmes 1 et 3.
Le premier propose l’étude d’une famille de suites définies par récurrence. Le troisième aborde le thème des « suites de Beatty » et du « spectre d’un nombre réel ».
Des bonbons bien cachés : Le problème 2 aborde le paradoxe de Monty-Hall. Sa partie 3 m’a laissé perplexe. Ici une contribution à la résolution de ce problème. Je préfère mettre en ligne à part cette « contribution » provisoire.
NB1. Ce travail que je mets en ligne est purement personnel et n’a rien d’officiel, il n’est certainement pas exempt de « coquilles » et erreurs. Le cas échéant, me communiquer vos remarques.
NB2. Cette année, a priori aucun corrigé ne sera publié sur le site freemaths, comme c’était le cas les années précédentes, ni pour le Concours Général, ni non plus pour les sujets d’Olympiades de Première « académiques ».
Concours général 2023
La session 2023 nous gratifie généreusement de deux sujets, aussi intéressants l’un que l’autre.
Voici un corrigé du sujet « officiel ».
Un deuxième sujet, différent, a été distribué dans une académie. Il s’agit semble-t-il d’un sujet qui a « fuité » et qui a été remplacé.
Voici l’énoncé du « Concours Général bis » 2023, de difficulté à peu près équivalente à celle du sujet officiel.
Et voici un corrigé du « Concours Général bis » 2023.
Concours généraux 2021 et 2022
Session 2022 : Un corrigé dont je suis l’auteur est publié sur le site freemaths.
Le sujet de cette année est sensiblement du même niveau que celui de 2021. Le problème 2 aborde des notions en lien avec la théorie de Ramsey. On y fait des majorations éthérées, aux résultats surprenants. De quoi faire dégoupiller une calculatrice. Session 2021 : Un corrigé dont je suis l’auteur est publié sur le site freemaths. Je collabore en effet ponctuellement à ce site. J’y suis l’auteur de certains corrigés de sujets académiques d’olympiades de première S. Ces olympiades peuvent d’ailleurs servir d’entraînement avant les thèmes autrement plus rudes des CG.
Voici cependant les sept boules de cristal une variante du problème 2 (celui de probabilités) de ce sujet : on y recherche la loi de probabilités des « variables aléatoires Dn », thème que le sujet original n’aborde quasiment pas.
Concours général 2020
Le concours 2020 a été annulé, mais son sujet existe bel et bien et est disponible sur la page dédiée du site Eduscol
Ce sujet est moins long que celui de 2019, mais au moins aussi intéressant (pointu et explosif).
Mon corrigé est publié sur le site freemaths, bien que le concours « officiel » n’ait pas eu lieu.
Il n’est pas vérifié point par point, l’éventuel lecteur se doit de rester critique. Merci de me signaler, le cas échéant, des rectifications salutaires.
Concours général 2019
Par son intérêt, son originalité, la variété des obstacles qu’il oppose à sa résolution, le cru 2019 du Concours Général se place légitimement parmi les meilleurs millésimes des vingt dernières années. Le changement d’orientation relevé en 2018 ne se confirme pas.
On trouvera une correction de ce sujet sur le site freemath, site auquel je participe ponctuellement.
Je signale aussi cet autre corrigé du problème sur les nombres joviaux, très complet, mis en ligne par les soins de Madame Raphaële GIORDAN (à consulter en particulier pour la partie III de ce problème).
Concours général 2018
On remarque un changement d’orientation assez net en cette session 2018.
- Le problème 1 est en effet de niveau nettement moins élevé que celui des problèmes posés dans les sessions antérieures. Ce problème porte sur les polynômes de Bernstein, thème très classique, et sur une application de ces polynômes à la construction de courbes de Bézier de faible degré. De ce fait, ce problème convient bien à un entraînement pour le concours du CAPES. Tout candidat devrait pouvoir atteindre un taux de résolution d’au moins 75 %.
En voici une mouture légèrement modifiée , agrémentée de quelques pistes de résolution.
Et ici un corrigé plus détaillé. - Le problème 2 consiste à pondérer, en suivant certaines règles, les sommets d’un graphe connexe. La partie B est d’un niveau plus soutenu que celui du problème 1.
En voici une mouture légèrement modifiée agrémentée de quelques pistes de résolution.
Et ici un corrigé plus détaillé. - Le problème 3 est à la fois élégant et instructif. Il porte sur une intéressante application du nombre d’or. Certains réels admettent un développement suivant des puissances entières relatives du nombre d’or. Voici quelques indications sur ce sujet.
Et ici un corrigé plus détaillé. - Quant aux deux problèmes du sujet ES, ils constituent l’un et l’autre un très bon entraînement à l’écrit du CAPES. On présume seulement qu’ils seraient (un tout petit peu) moins saucissonnés en items. Voici une mouture légèrement modifiée du problème 2, portant sur une famille d’équations et leurs solutions.
Concours général 2017
En ce qui concerne la série S :
- Le premier problème porte sur des ensembles de nombres stables par multiplication et par somme de carrés. Voici quelques pistes concernant ce problème.
- Le deuxième problème étudie un QCM.
Voici dans ce document une variante du problème original. Il est certainement préférable de commencer par aborder le sujet original. Il ne s’agit ici que d’un éclairage un peu différent de la situation présentée.
Le troisième problème étudie les triangles de l’espace dont les sommets sont des points à coordonnées entières. On pourra le comparer à un problème du CAPES 2017 où il question du réseau des points entiers. - Voici quelques indications sur l’ensemble du sujet.
Vous trouverez ici des éléments de correction sur l’ensemble du sujet.
Une nouveauté cette année : un sujet de Mathématiques destiné aux élèves des séries ES et L.
Je ne saurais trop recommander aux candidats au CAPES de traiter la totalité de ce sujet, dont le niveau me paraît taillé sur mesure pour une préparation au concours.
Trois problèmes abordent des thèmes classiques : fonctions convexes (problème 1), suites de Fibonacci (problème 2) et marche aléatoire (problème 3).
- Voici un document sur le problème 3. Éléments de correction, simulation, un prolongement.
- Voici une synthèse du sujet ES 2017.
Concours général 2016
La session 2016 propose trois problèmes, bien entendu tous consistants.
- Le premier problème porte sur les entiers décomposables en somme de cubes distincts : Sommes de cubes.
Ce document, outre quelques indications, propose quelques programmes auxiliaires réalisés avec TI-Nspire. Il propose aussi une liste de 288 entiers répondant à la question 3. - Le deuxième problème porte sur la densité des forêts. Je dédie ce document à tous les agriculteurs de la plaine de Vinça, et en particulier à Raymond, qui, en été, m’employait quand j’étais adolescent puis étudiant, à la cueillette des pêches. Je me souviens des Dixie Red du champ de Cassanyes et des Elberta, plus tardives, du champ du Camí de Finestret.
- Le troisième problème propose une étude de marche aléatoire dans le plan complexe. On pourra se référer à son sujet au « théorème de Polya » sur les marches aléatoires dans un espace de dimension donnée. Voici une contribution succincte donnant quelques indications.
Concours général 2015
La session 2015 est au titre de l’intérêt et de l’originalité des sujets un excellent cru (mais pourrait-il en être autrement ?)
- Le premier problème nous invite à suivre les pas de Clara et d’Isabelle, deux mathématiciennes en herbe : « Petits poids ».
Ce document ouvre quelques pistes de réflexion. On y trouvera notamment quelques programmes réalisés avec TI-Nspire aidant à écosser les petits poids. - Le deuxième problème porte sur les « Tétraèdres ». Il a été incorporé ici à un sujet de problème plus vaste, que j’avais en réserve, portant sur la notion de point de Monge d’un tétraèdre.
- Le troisième problème, insolite et déconcertant, est une pure merveille portant sur la notion de « moyennes prévisionnelles ». Ce document ouvre quelques pistes de réflexion.
- Voici une synthèse des trois problèmes présentant des éléments de correction des trois problèmes dans un seul et même document.
Théorème de Beatty, jeu de Wythoff et concours général 1994
- Ce premier problème sur les suites de Beatty étudie les parties entières des multiples d’un réel strictement positif.
En particulier, les suites de Beatty associées au nombre d’or et à son carré trouvent une application dans la construction d’une stratégie gagnante dans un « jeu de Wythoff ». - Ce deuxième problème, plus court, développe des thèmes voisins du précédent. La partie A a pour application une démarche de résolution de l’exercice 1 du concours général 1994 dont le texte constitue la partie B.
Concours général 2014
- Concours général 2014, problème 2 : Vite pile. Ce problème revisite une situation « classique » de temps d’attente.
Ce document présente le sujet, des simulations associées à la situation et des indications - Concours général 2014, problème 3 : des chiffres et des lettres.
Un problème d’arithmétique qui mobilise en même temps l’outil des congruences, des notions de numération et des notions de divisibilité.
Ce document présente le sujet, des indications et des éléments de correction - Voici une synthèse des trois problèmes dans un même document.
Concours général 2013
- Concours général 2013, problème 3 : le mythe de Sisyphe.
L’auteur de ce sujet a su bousculer avec brio les conventions habituelles d’un problème de probabilités …
Sisyphe avait été condamné par Zeus à remonter indéfiniment un rocher en haut d’une montagne. Ce rocher retombait invariablement au bas de la pente, ce qui obligeait Sisyphe à recommencer encore et encore à rouler son rocher.
Le choix de « Sisyphe » comme prénom du héros du problème n’est pas le fait du hasard … On découvrira pourquoi en cours de résolution.
Quelques éléments de réponse à ce problème.
Concours général 2012
- Programme de décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers avec nSpire.
Application au problème 1 du Concours Général 2012 : « Les premiers sont en haut, les exposants sont en bas »
Voir ici un document proposant une construction de la matrice des facteurs premiers d’un entier > 1 avec le logiciel TI-Nspire.
Cette matrice est ensuite utilisée pour construire avec TI-Nspire la fonction f du problème 1 (problème d’arithmétique) du Concours Général 2012 et permettre d’élaborer quelques conjectures sur son comportement. La « fonction f » intervertit les facteurs premiers de la décomposition d’un entier et leurs exposants. - Suites majoritairement décroissantes : Concours général 2012, problème 2
L’énoncé et quelques compléments (notamment l’étude d’une suite auxiliaire).
La piste de résolution proposée dans ces compléments amène à une démonstration par récurrence un peu insolite … - « Le facteur sonne toujours une fois (et une seule) » : Concours général 2012, problème 3. Intéressant problème de culture générale. Voici L’énoncé et des conjectures : Ce document propose un travail sur logiciel (fonctions, programmes, simulations) suscitant quelques conjectures à propos des principaux résultats du problème.
Concours général 2011
Un problème de maximisation (un rectangle dans un autre).
Un problème ayant une certaine parenté avec l’écriture d’un nombre en base deux.
Un problème portant sur les racines n-ièmes de l’unité.
Voici un document de synthèse présentant des éléments de correction de l’ensemble du sujet.
Concours général 2010
Un scoop : de la vie sur Mars ou des amours en trio.
Un intéressant problème de probabilités sur des épreuves à deux issues.
Silence on bloque. Peut-être qu’actuellement il s’agirait d’un problème « avec prise d’initiative » (?).
Voici un document de synthèse présentant des éléments de correction de l’ensemble du sujet.
Le boucher sympa (d’après CG 2008)
C’est l’histoire d’un boucher qui, lors du Concours Général 2008, ne faisait pas payer à ses clients les centimes des articles qu’il leur vend. Voici le sujet et son corrigé. Je propose une résolution à l’aide d’un algorithme, ce qui en 2008 n’était pas encore d’actualité ; depuis, il a coulé beaucoup d’eau sous les ponts.