Une courbe isogone d’une conique (C) donnée est telle que, de chacun de ses points, on peut mener deux tangentes à la conique (C) déterminant un angle géométrique constant. Parmi les isogones de (C), il peut exister (mais ce n’est pas toujours le cas) la courbe orthoptique de la conique : de chacun des points de l’orthoptique, on peut mener deux tangentes à (C) perpendiculaires.
Cette page présente quelques documents relatifs à ces isogones. Il serait bien étonnant que les géomètres des XVIIIème et XIXème siècle n’aient pas déjà abondamment creusé le sujet mais, pour ma part, je n’ai pas trouvé de référence précise.
L’étude de telles isogones donne lieu à un réinvestissement assez dense des techniques relatives au second degré (discriminant, signe du trinôme, liens entre coefficients et racines, sarabande d’expressions bicarrées…). Il est vivement conseillé de se munir d’un logiciel de calcul formel et d’un autre de représentations graphiques permettant de tracer des courbes définies par une relation f(x, y) = 0.
Ces documents ne sont pas destinés prioritairement aux candidats au CAPES mais peuvent éventuellement intéresser des étudiants de classes prépa ou de Master de Mathématiques.
Ils se présentent sous forme de divers problèmes avec sujet et corrigé.
Courbes isogones d’une parabole
- Etude d’un cas particulier . On choisit pour cette étude une parabole particulière.
- Etude du cas général . Même sujet, mais avec un paramètre en plus.
Courbes isogones d’une ellipse
Sont-ce des ellipses ?
- Etude d’un exemple .
- Etude du cas général . Un essai de généralisation …
Courbes isogones d’une hyperbole
- Un sujet sur les courbes isogones d’une hyperbole. Après paraboles et ellipses, voici les hyperboles. Ce n’est pas si différent de ce qu’il se passe pour les ellipses, c’est même, il me semble, plus facile.
- Un exemple d’hyperbole particulière avec une approche un peu différente : Isogones de l’hyperbole d’équation y=1/x . Cette fois-ci l’hyperbole est représentative d’une fonction. Mais cela ne change rien, toujours des quartiques.